一、核心递推关系理解

1. 当n为偶数时(共n = 2k人)：
1. 过程：第一轮会消去所有编号为偶数的人(2，4，6…)。会剩2k - k = k个人，并且他们的编号会是连续的奇数：1，3，5……,2k-1。
2. 接下来：然后从3号（原始编号）开始继续淘汰，这又是一个规模为K的新一轮。我们可以发现，原始编号现在在新一轮里位居第二位，也就是可以得到一个关系：原编号 = 2 * 新编号 -1
3. 故：新游戏中的幸存者编号是J(K)。则有原游戏场次编号：2 * J(K) - 1。即：J(2K) = 2J(K)-1。
1. 即：2K个人玩这个游戏，最后活下来的是最初编号为2 * J(K) - 1的人

2. 当 n为奇数 (n = 2k + 1)：
1. 过程：第一轮消去所有偶数编号的人（2, 4, 6,..., 2k），紧接着会消去下一个位置，即 1号。剩下 k 个人，编号为：3, 5, 7, ..., 2k+1。
2. 关键观察：接下来从3号开始继续，形成一个规模为 k的新游戏。此时新编号与原编号的关系变为：原编号 = 2 * 新编号 + 1。
3. 推导：新游戏的幸存者编号是 J(k)，对应回原编号为 2 * J(k) + 1。因此得到：J(2k + 1) = 2J(k) + 1

二、如何通向闭合式与二进制循环移位

• J(6) = J(110₂) = 101₂ = 5

• J(7) = J(111₂) = 111₂ = 7

• J(10) = J(1010₂) = 0101₂ (即101₂) = 5

• 在二进制中，2 * J(k)相当于 J(k)左移一位（后面添一个0）。

• 1或 +1的操作，在特定情况下（结合 J(k)的奇偶性）等价于处理最高位和最低位。

• 递归地应用这两个公式，其整体效果在二进制视角下，就完美地呈现为一次循环左移。

三、总结与理解路径

1. 建立递推：通过分析第一轮消去后如何“缩编”为一个小规模的问题，并找到新旧编号的映射关系，从而得到 J(2k)和 J(2k+1)的递推式。

2. 发现模式：利用递推式或直接模拟，计算出小 n值对应的 J(n)，观察其与 n的二进制表示之间的关系，猜想到“循环左移”的优雅闭合式。

3. 内在联系：递推公式中的“乘2”对应二进制左移，“±1”对应调整最低位。递归执行整个过程，在二进制上就表现为最高位被移到了最低位。